Não, ele não se tornou o jinchuriki do Momoshiki e nem pseudo-Jinchuriki, o que aconteceu foi que Boruto recebeu o Karma do Ootsutsuki, que até agora se mostrou uma especie de selo que absorve o chakra a sua volta, não altera a personalidade do hospedeiro ou o deixa sem contro-le.
Pelo que eu entendi, o Karma só pode ser passado para aquele que eliminou o antigo usuário, tanto que a nova organização que apareceu no manga "Kara" achou que o Karma estava com o Naruto, já que ele era o único, fora o Sasuke, com poder suficiente para eliminar um Ootsutsuki, mas enredo e protagonismo a parte, o Karma se encontra com o Boruto que deu o golpe final que matou o inimigo.
Uma curiosidade, é que pode existir mais de um Karma, com desenhos diferentes...
E uma delas está com o inimigo da série, o Kawaki!
Cena do começo do anime :