Vou responder a pergunta com base em Orochimaru x Sasori, já que não entendi o que você quis dizer no primeiro comentário.
Orochimaru era um antigo membro da Akatsuki e dupla de Sasori, mas, deixou a organização após tentar pegar o corpo de Itachi e falhar em seu plano. Depois disso, a Akatsuki passou a caçá-lo, já que não tolera certos tipos de conduta dos membros e, além de tudo, Oro sabia coisas sobre a organização e vez ou outra os interesses de ambos se cruzavam.
Portanto, Sasori era o encarregado dentro da Akatsuki de eliminá-lo. Kabuto foi usado como seu espião por um tempo e confiando nisso, o Nukenin da Areia acreditou que poderia arrancar informações sobre Orochimaru, após Kabuto ter se tornado seu braço direito. Contudo, o controle mental imposto por Sasori já havia sido quebrado pelo Sannin.
O encontro na Ponte do Céu e da Terra (não lembro se era esse o nome) era a ocasião em que Sasori encontraria Kabuto para pegar informações de Orochimaru, acreditando que esse ainda estava sob seu domínio. Contudo, após a derrota diante de Sakura e sua avó Chiyo, ele revelou para elas sobre o encontro, que na verdade era uma emboscada preparada por Oro.
Oro queria se livrar dele por ser seu perseguidor, enquanto que Sasori tinha que se livrar do Sannin por conta de sua saída da Akatsuki e o fato dos planos do primeiro e da organização colidirem. É uma questão um pouco semelhante a dos nukenins, mas, como Obito disse, quando ainda era mascarado para Sasuke:
- A Akatsuki não perdoa traidores!
