Naruto nunca pensou nisso, porque ele nunca teve conhecimento desse Clã(na verdade até hoje ele não tem). Então e obvio que ele não liga para isso.
Segundo Kushina os Uzumakis se espalharam pelo mundo, então seria uma boa o Naruto ir atrás deles, mas Naruto vai fazer o que? procurar todo o ruivinho que encontrar, e vai considerar ele um Uzumaki? Acho que não hein, só se o Sensor do Naruto for igual do Tobirama que consegue dizer quem e Uzumaki pelo Chakra.
E filho? Naruto não vai querer ter um time de futebol só para poder restaurar seu Clã? Manga não funciona assim.
Não, acredito que isso não vai acontecer, não e prioridade do Naruto, isso dai ta mais para o Sasuke, mas esse parece que desistu desse objetivo também, então Uzumaki e Uchiha estão praticamente extintos, no caso do Naruto não porque seu Clã foi destruido, mas sim porque ele precisaria ir numa viagem para procurar a todos.Não seria impossivel, mas ai teria que ter uma nova saga, e com Naruto constantemente fora da aldeia.
E como Naruto vai ficar com a Hinata, e Naruto ja e considerado um Hyuuga o flho do Naruto vai ser Hyuuga legitimo, herdeiro da casa principal, Uzumaki não tem vez.