Não acho que seja por questão de Chakra como estão especulando. Veja bem, a intangibilidade não é ativada no corpo inteiro imediatamente, digo: ele não envia todo o corpo para a outra dimensão quando ativa essa peculiaridade. O que é enviado para a outra dimensão é apenas a parte do corpo em que é tocada. Caso o toque se estenda ao corpo todo como foi o caso de quando Naruto quebrou a mascara de Obito com o Rasengan, então sim, neste caso todo o corpo foi transportado, mas, caso passe por ele algo pequeno como uma agulha, somente aquela pequena região do corpo em que a agulha tocou que será movida para a outra dimensão.
Analisando tudo, e tendo isso em mente, podemos tirar a conclusão lógica de que a questão da intangibilidade com o Susano'o não se trata de Chakra, e sim de incapacidade mesmo. Pois se analisarmos essa imagem:
Caso fosse realmente possível estender a intangibilidade ao Susano'o, o Kakashi teria feito isso neste exato momento, pois se ele transporta somente a parte que é tocada, ele conseguiria fazer com que a estaca passasse direto, pois analisando seu tamanho e espessura, não seria difícil, e não gastaria tanto Chakra mover aquela mísera região do Susano'o, para a Dimensão do Kamui. Sem contar que ali, Kakashi estava com o restante de seu Chakra; com o Chakra do Obito; e uma parcela do Chakra do Rikudou, então Chakra para efetuar a façanha era o que não faltava.
Para mim, tornar o Susano'o intangível não pode ser feito, pois tivemos o momento, a possibilidade, e a oportunidade para que isso tivesse ocorrido, e quando estava prestes a acontecer, o Kakashi tornou intangível somente o seu próprio corpo, enquanto o Susano'o foi despedaçado.