Existe muita confusão nesse assunto...
Começando, sim, é possível despertar o Rinnegan sozinho, mesclando chakras que compõem o do Hagoromo. No entanto, o mangá deixa claro que isso é um processo que normalmente leva muito tempo:
Levou
décadas entre o transplante da carne do Hashirama para que o Rinnegan despertasse.
Então não, o Sasuke não despertou sozinho, da mesma forma que o Naruto não despertou o RSM sozinho. O Kabuto o curou com células Hashirama mas ainda não houve o fator tempo. De qualquer forma, existe prova escrita de que o Rinnegan veio do Hagoromo:
Databook 4 escreveu:
Amenotejikara
Ninjutsu, Kekkei Genkai – Suplementar, Curta Distância, Média Distância
Usuários: Uchiha Sasuke
O extremo de uma técnica de teleporte, com a qual ele pula em um espaço separado em um instante!!
É um ninjutsu que usa o “Rinnegan”, confiado a ele pelo Rikudou Sennin. Desde que esteja dentro de um certo alcance, em um instante ele pode trocar se trocar de lugar com o objeto mirado. No meio de uma batalha de curto alcance, o usuário pode tanto evitar ataques inimigos em um instante, caso este se troque com outro objeto, quanto atacar, caso este se troque com uma Kunai ou algo do tipo.
↓Ele pode trocar de lugar com um objeto mirado por meio de seu “olho”
↑→ O alvo que trocou de lugar com ele pode ser uma pessoa ou até um objeto, como uma espada.
Aí pode se perguntar, que diferença ter o chakra das células Hashirama fez?
Simples, o Hagoromo não pode se manifestar à vontade. Ele depende que exista uma conexão que gere uma assinatura de chakra correspondente à sua. Essa conexão pode ocorrer até de imediato, como foi o Hashirama tocando na perna do Madara.
No caso do Sasuke, se discute a possibilidade de 3 momentos de conexão. Ao entrar em contato com o manto do Naruto, ao receber o chakra diretamente do Hashirama Edo para usar um jutsu e no momento da cura. Independente qual desses foi, ou até se foi mais de um, o que aconteceu não muda.
Concluindo, a mescla de chakra Indra/Ashura no caso do Sasuke foi responsável por criar as condições para a manifestação do Hagoromo no mundo real. Este então conferiu metade do seu chakra ao Sasuke por meio do selo da lua. Esse poder evoluiu um de seus olhos (o mais próximo ao selo) para um Rinnegan especial, carregando consigo os tomões do Sharingan.